Երկրաչափություն

Դաս 1.

Տեսական նյութ

Կոորդինատային հարթություն

Շախմատի պարտիայի քայլերը գրելու համար պայմանավորվել են շախմատի տախտակի վանդակները նշանակել տառերով և թվանշաններով:

Օրինակ, այն վանդակը, որի վրա գտնվում է սև զինվորը, նշանակում են F7, իսկ այն վանդակը, որի վրա գտնվում է սպիտակ ձին՝ D2: Եթե շախմատի տախտակի վանդակների սյունակները նշանակենք ոչ թե տառերով, այլ, ինչպես և տողերը, թվանշաններով, ապա այն վանդակը, որի վրա գտնվում է սպիտակ ձին, կունենա (4; 2) նշանակումը, իսկ այն վանդակը, որի վրա գտնվում է սև զինվորը՝ (6; 7) նշանակումը:

Նշանակելով վանդակները, պահպանում են որոշակի կարգ. սկզբում ցույց են տալիս սյան նշանակումը, իսկ հետո՝ տողինը:

Կինոթատրոնի դիտադահլիճում տեղերը նույնպես կարելի է տալ թվերի զույգերով. առաջին թվով նշանակել շարքի համարը, իսկ երկրորդով՝ այդ շարքում բազկաթոռի համարը: Ընդ որում (3; 8) և (8; 3) տեղերը տարբեր են. առաջինը երրորդ շարքի N8 բազկաթոռն է, իսկ երկրորդը՝ ութերորդ շարքի N3 բազկաթոռը:

Նման ձևով կարող ենք նշանակել նաև կետերի դիրքըհարթության վրա: Այդ նպատակով հարթության վրա տանում են երկու ուղղահայաց OX և OY կոորդինատային ուղիղները, որոնք հատվում են հաշվման O սկզբնակետում: Այդ ուղիղները կոչվում ենկոորդինատների համակարգ հարթության վրա, իսկ O կետը՝կոորդինատների սկզբնակետ: Հարթությունը, որի վրա ընտրված է կոորդինատների համակարգը, անվանում են կոորդինատային հարթություն:

Դիցուք M-ը կոորդինատային հարթության որևէ կետ է: Նրանով տանենք OX կոորդինատային ուղղին ուղղահայաց MA ուղիղը, և OY կոորդինատային ուղղին ուղղահայաց MB ուղիղը: Քանի որ A կետի կոորդինատն է 6, իսկ B-ինը՝ -5, ապա M կետի դիրքը որոշվում է (6; -5) թվերի զույգով: Այդ թվերի զույգն անվանում են M կետի կոորդինատներ: 6 թիվն անվանում են M կետի աբսցիս, իսկ -5 թիվը՝ M կետի օրդինատ: OX կոորդինատային ուղիղն անվանում ենաբսցիսների առանցք, իսկ OY կոորդինատային ուղիղը՝օրդինատների առանցք:

6 աբսցիս և -5 օրդինատ ունեցող M կետը նշանակում են այսպես՝ M(6; -5): Ընդ որում միշտ առաջին տեղում գրում են կետի աբսցիսը, իսկ երկրորդում՝ նրա օրդինատը: Եթե տեղափոխենք կոորդինատների տեղերը, ապա կստացվի բոլորովին այլ՝ H(-5; 6) կետը:

Կոորդինատային հարթության յուրաքանչյուր M կետին համապատասխանում է թվերի մեկ զույգ՝ նրա աբսցիսը և օրդինատը: Եվ ընդհակառակը, յուրաքանչյուր թվերի զույգին համապատասխանում է հարթության մեկ կետ, որի համար այդ թվերը կոորդինատներ են:

Նկարում ցույց է տրված, թե ինչպես պետք է հասնել (-4; -3) կոորդինատներով C կետը. սկզբում պետք է OX առանցքով անցնել հաշվման սկզբից դեպի ձախ 4 միավոր, իսկ հետո՝ 3 միավոր ներքև:

Աշխարհագրության մեջ կետերի դիրքը երկրի մակերևույթի վրա նույնպես երևում են երկու թվերով (աշխարհագրական կոորդինատներով՝ լայնությամբ և երկարությամբ):

Հատվածի միջնակետի կոորդինատները

Դիցուք տրված է A և B ծայրակետերւվ AB հատվածը, որտեղ A(x1; y1) и B(x2; y2)

Այդ դեպքում AB-ի M միջնակետի կոորդինատները կլինեն՝

Առաջադրանքներ

1) Կոորդինատային հարթության մեջ նշեք A(-3, -1) և B(5, 3) կետերը: Գտեք AB հատվածի միջնակետի կոորդինատների գումարը: 2) 3) 4) Տրված են A(1;-2), B(3;2) կետերի միջնակետերը: Գտեք AB հատվածի միջնակետի կոորդինատների տարբերությունը: 5)     Դաս 2 Դաս 1-ի կրկնություն 1. 2. 3. Դաս 3 Տեսական նյութ Կետերի հեռավորությունը կոորդինատներով Դիցուք՝ Oxy կոորդինատային հարթության վրա տրված են A(x1, y1) և B(x2, y2) կետերը: A և B կետերի հեռավորությունը (AB հատվածի երկարությունը) արտահայտենք այդ կետերի կոորդինատներով:                        dAB=(x2-x1)2+(y2-y1)2 Առաջադրանքներ 1) Գտեք A և B կետերի հեռավորությունը, եթե՝ ա) A(2; 7), B(-2; 7) բ) A(-5; 1), B(-5; -7) գ) A(-3; 0), B(0; 4) դ) A(0;3), B(-4;0): 4 miavor 2)  Գտեք MNP եռանկյան պարագիծը, եթե M(4;0), N(12; -2), P(5; -9): n2 miavor 3) Ապացուցեք, որ ABC եռանկյունը հավասարասրուն է, եթե նրա գագաթներն ունեն հետևյալ կոորդինատները. ա) A(0;1), B(1; -4), C(5; 2) բ) A(-4; 1), B(-2; 4), C(0;1): 4 miavor

ԹԵՍՏԵՐ

Դաս 4

Տեսական նյութ

Շրջանագծի հավասարումը

Դասը և առաջադրանքներն այստեղից

1 ռաջադրանք

2

3

4)

5

3 miavor

Դաս 6

Տեսական նյութ

Վեկտորի հասկացությունը

Դիտենք կամայական հատված : Նրա վրա կարելի է նշել երկու ուղղություն` մի ծայրից մյուսը և հակառակը : Որպեսզի ընտրենք այդ ուղղություններից մեկը, հատվածի մի ծայրն անվանենք սկիզբ , իսկ մյուսը ` վերջ, և հաշվի առնենք, որ հատվածն ուղղված է սկզբից դեպի վերջ: Նկ. 1

  Նկ. 1

Սահմանում 1. Այն հատվածը , որի համար նշված է , թե նրա ծայրերից որն է սկիզբը , և որը` վերջը , կոչվում է ուղղորդված հատված կամ վեկտոր։

Վեկտորը նշանակում են լատինական երկու մեծատառերով, որոնց վերևը դրվում է գծիկով սլաք, օրինակ՝

AB: Առաջին տառը նշանակում է վեկտորի սկիզբը, իսկ երկրորդը՝ վերջը:

 

Վեկտորները հաճախ նշանակվում են լատինական փոքրատառերով. այդ դեպքում գրվում է մեկ փոքրատառ և վերևը դրվում է գծիկով սլաք, օրինակ՝ a, b, c նկ. 2

նկ. 2

Հարթության յուրաքանչյուր կետը դիտվում է որպես վեկտոր : Այդ դեպքում վեկտորը կոչվում է զրոյական : Զրոյական վեկտորի սկիզբն ու վերջը համընկնոմ են: Զրոյական վեկտորը հաճախ նշանակվում է O պայմանանշանով:

Սահմանում 2. Ոչ զրոյական ABվեկտորի երկարություն կամ մոդուլ կոչվում է AB հատվածի երկարությունը : Համարվում է , որ զրոյական վեկտորի երկարությունը հավասար է 0-ի։

AB-ի երկարությունը նշանակվում է AB, նմանապես a-ի երկարությունը՝ a

Սահմանում 1.

Ոչ զրոյական վեկտորները կոչվում են համագիծ, եթե նրանք գտնվում են կամ նույն ուղղի, կամ զուգահեռ ուղիղների վրա: Զրոյական վեկտորը համարվում է ցանկցած վեկտորին համագիծ:

Սահմանում 2.

Ոչ համագիծ վեկտորներն անվանում են տարագիծ

Օրինակ՝ նկարում a, b, AB, CD և MM (զրոյական վեկտոր) վեկտորները համագիծ են, իսկ AB և EF, ինչպես նաև CD և EF-ը տարագիծ են:

Սահմանում 3.

Երկու համագիծ վեկտորներ կոչվում են համաուղղված, եթե նրանք ունեն նույն ուղղությունը և գրում ենք՝ ab:

Սահմանում 4.

Երկու համագիծ վեկտորներ կոչվում են հակաուղղված, եթե նրանք ունեն տարբեր ուղղությունը և գրում ենք՝ ab:

Պայմանավորվենք զրոյական վեկտորը համարել ցանկցած վեկտորին համաուղղված:

Սահմանում 5.

Վեկտորները կոչվում են հավասար, եթե նրանք համաուղղված են և նրանց երկարությունները հավասար են:

Այսպիսով՝ a=b եթե ab և |a|=|b|

Գրքից

52.

Առաջադրանքներ

1)  ABCD ուղղ.

    AB=3 սմ

    BC=4 սմ

    AM=MB

    Գտնել AB,BC , DC, MC, MA երկարությունները

2)

AD=12 սմ

AB=5 սմ

<D=450

Գտնել BD, CD, AC երկարությունները

 

3)

Տրված է ABCD զուգահեռագիծը

Արդյոք հավասա՞ր են հետևյալ վեկտորները.

ա) AB և DC

բ) BC և DA

գ)  AO և OC

դ)   AC և DB

4)

 Արդյոք ճշմարի՞տ է հետևյալ պնդումը.

ա) եթե a=b, ապա ab

բ)  եթե a=b, ապա aևb -ն համագիծ են

գ) եթե a=b, ապա ab

դ) եթե a=0, ապա ab

Դաս 7

Տեսական նյութ

Վեկտորների տեղադրումը տրված կետից,  վեկտորների գումարը

Պնդում  Ցանկացած կետից կարելի է տեղադրել տրված վեկտորին հավասար վեկտոր, ընդ որում՝ միայն մեկը:

Վեկտորների գումարը

Առաջադրանքներ

1)  Գծեք զույգ առ զույգ տարագիծ x, y, z վեկտորներ և կառուցեք

x+ y, x+ z,  z+ y վեկտորները:

2) Գծեք զույգ առ զույգ տարագիծ a, b, c , d, e վեկտորներ և օգտվելով բազմանկյան կանոնից՝ կառուցեք

a+ b+ c+ d+ eվեկտորը:

3) Տրված է կամայական քառանկյուն՝ MNPQ-ն: Ապացուցեք, որ՝

ա) MN+ NQ=MP+ PQ

բ) MN+ NP=MQ+ QP

4) ABC հավասարակողմ եռանկյան կողմը a է: Գտեք`

ա) AB+ BC երկարությունը

բ)   AB+ AC երկարությունը

Դաս 11

Տեսական նյութ

Վեկտորի կոորդինատները

Տեսական նյութն ու առաջադրանքներն այստեղ

Առաջադրանքներ

\

Չորրորդ տարբերակ

1)

2) Տրված են A(-10; 3) և B(-1; 0) կետերը: Գտնել BAվեկտորի կոորդինատները:

3) Տրված է A(2;3), B(1;-4) և C(5; 8) գագաթներով ABC եռանկյունը:

ա) Գտնել BC հատվածի M միջնակետի կոորդինատները:

բ) Գտնել AM միջնագծի երկարությունը: